Пределы

Понятие предела последовательности или функции является одним из фундаментальных понятий математического анализа.

Основные определения

Определение

Предел числовой последовательности, подробнее →

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ , если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_{0}=n_{0}(\epsilon)$ такой, что для любого $n>n_{0}$ выполняется неравенство $\left|x_{n}-a\right|<\epsilon$ :

$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) : \forall n>n_{0},\left|x_{n}-a\right|<\epsilon$


Предел функции в точке, подробнее →

Число $b$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для $\forall \epsilon>0 \exists \delta>0$ такое, что для $\forall x \in(a-\delta ; a+\delta) \cap D[f]$ из того, что $0<|x-a|<\delta$ следует, что $|f(x)-b|<\epsilon$ : $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$ или $f(x) \rightarrow b$ при $x \rightarrow a$ .


Предел функции на бесконечности, подробнее →

Число $b$ называется пределом функции $y=f(x)$ на бесконечности или при $x \rightarrow \infty$, если для любого $\forall \epsilon>0$ существует такое число $\delta=\delta(\epsilon)>0$ такое, что для всех $x \in D(f)$ из того, что $|x|>M$, выполняется неравенство $|f(x)-b|<\epsilon$.

История развития

Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.

Применение пределов на практике

Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.


Читать дальше: понятие числовой последовательности.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация