Точки разрыва функции и их классификация

Определение точки разрыва

Определение

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

  1. функция определена в точке и ее окрестности;
  2. существует конечный предел функции в точке ;
  3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция не определена в точке , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Пример

Функция в точке имеет разрыв первого рода, так как

, а

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции точка - точка разрыва второго рода, так как .

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке :

Так как и не равны значению функции в точке, то точка - точка устранимого разрыва.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Рассматриваемая функция определена и непрерывна на промежутках , и , на которых она задана непрерывными элементарными функциями , и соответственно. А тогда, разрыв возможен только на концах указанных промежутков, то есть в точках и .

Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.

1) Рассмотрим точку . Для нее

Так как , то в точке функция терпит разрыв первого рода.

2) Для точки имеем:

Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке функция непрерывна.

Ответ. В точке функция терпит разрыв первого рода, а в точке непрерывна.

Пример

Задание. Исследовать функцию на непрерывность в точках и .

Решение. 1) Исследуем функцию на непрерывность в точке :

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то точка - точка разрыва второго рода.

2) Для точки получаем:

и значение функции в точке

Таким образом, в точке заданная функция является непрерывной.

Ответ. - точка разрыва второго рода, а в точке функция непрерывна.

Читать дальше: основные теоремы о непрерывности функций.