Формулы сокращенного умножения

В некоторых конкретных случаях можно умножение одного выражения (многочлена, числа) на другое (другой многочлен, число) свести к компактному, легко запоминающемуся результату. То есть на практике можно сэкономить время, не умножая каждый раз одно выражение на другое, а воспользовавшись уже известным результатом. Такие случаи называют формулами сокращенного умножения:

1

Квадрат суммы:

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$$
2

Квадрат разности:

$$(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$$
3

Разность квадратов:

$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$
4

Куб суммы:

$$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$$
5

Куб разности:

$$(a-b)^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}$$
6

Сумма кубов:

$$a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)$$
7

Разность кубов:

$$a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$$

 

 

Выражения полный квадрат суммы и полный квадрат разности, стоящие в правых частях равенств (1) и (2), называются соответственно полный квадрат суммы и полный квадрат разности.

Выражения неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности, которые стоят вторыми сомножителями в правых частях равенств (6), (7), называются соответственно неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности. От полных квадратов суммы и разности они отличаются лишь средним коэффициентом.

Все формулы сокращенного умножения доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.

Заметим, что любое математическое равенство "читается" в математике как слева направо, то есть левая часть равенства заменяется равной ей правой частью, так и наоборот: справа налево, то есть правая часть равенства заменяется левой. А тогда приведенные формулы сокращенного умножения можно записать и в виде:

8

Квадрат суммы:

$$a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}$$

9

Квадрат разности:

$$a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}$$

10

Разность квадратов:

$$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$$

11

Куб суммы:

$$a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$$

12

Куб разности:

$$a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}$$

13

Сумма кубов:

$$(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}$$

14

Разность кубов:

$$(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=a^{3}-b^{3}$$

Формулы сокращенного умножения применяются непосредственно для сокращенного умножения, для разложения выражений на множители. С их помощью можно сравнительно быстро и легко выполнять тождественные преобразования алгебраических выражений.


Читать дальше: формула "квадрат суммы".

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация