Понятие числовой последовательности

Основные понятия и определения

Определение

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество :

Элемент называется первым членом последовательности, - вторым, ... , - -ым или общим членом последовательности.

Пример

Задание. Для последовательности определить, чему равен третий член

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для заданной последовательности имеем, что

Ответ.

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.

Пример

Задание. Найти формулу общего члена последовательности

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.

Таким образом, делаем вывод, что

Ответ. Формула общего члена:

Пример

Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой -го члена:

Решение. Для того чтобы найти , подставим в формулу общего члена значение . Получим:

Ответ.

Пример

Задание. Проверить, являются ли числа и членами последовательности

Решение. Число является членом последовательности , если существует такой номер , что :

Таким образом, число является первым и пятым членами заданной последовательности.

Проверим теперь, является ли число членом указанной последовательности . Рассуждая аналогично, как и для , получаем:

Таким образом, уравнение не имеет решение в натуральных числах, а значит, не является членом последовательности

Ответ. Число является первым и пятым членами заданной последовательности, а не является членом последовательности

Рекуррентный способ задания последовательности

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член последовательности и известно, что , то есть и так далее до нужного члена.

Пример

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

Последовательность чисел Фибоначчи

Пример

Задание. Последовательность задана при помощи рекуррентного соотношения . Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

Аналогично находим далее, что

и так далее.

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения надо найти все предыдущие 499 членов.


Читать дальше: ограниченные последовательности.