Содержание:

Определение

Функция $\alpha(x)$ называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при $x \rightarrow a$ (или в точке $x=a$ ), если $\lim _{x \rightarrow a} \alpha(x)=0$

Пример

Функция $y=x$ является бесконечно малой (б.м) функцией при $x \rightarrow 0$.

Основные свойства бесконечно малых функций

1 Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2 Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3 Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4 Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5 Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6 Функция $\frac{1}{\alpha(x)}$, обратная к б.м функции $\alpha(x) \neq 0$, есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 470 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Доказать, что функция $\alpha(x)=(x+1) \cdot \operatorname{arctg}(x)$ является бесконечно малой в точке $x=-1$.

Доказательство. Из того, что $\lim _{x \rightarrow-1}(x+1)=-1+1=0$ делаем вывод, что функция $f(x)=x+1$ является б.м при $x \rightarrow-1$. Функция $g(x)=\operatorname{arctg}(x)$ является ограниченной: $-\frac{\pi}{2} \lt g(x) \lt \frac{\pi}{2}$. А тогда их произведение $\alpha(x)=f(x) g(x)$, согласно свойству №3, является функцией б.м.

Теорема

Пусть $b$ - предел функции $y=f(x)$ в точке $a$: $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$ . Тогда заданную функцию можно представить в виде $f(x)=b+\alpha(x)$, где $\alpha(x)$ - б.м функция. Верно и обратное утверждение.

Пример

Задание. Доказать, что $\lim _{x \rightarrow 1}(2 x+3)=5$.

Доказательство. Рассматриваемую функцию $f(x)=2 x+3$ представим в виде суммы предела этой функции - числа 5 и бесконечно малой функции $\alpha(x)=2(x-1)$ :

$f(x)=2 x+3=5+2 x+3-5=5+2 x-2=5+2(x-1)$

А тогда, по выше приведенной теореме, делаем вывод, что $\lim _{x \rightarrow 1}(2 x+3)=5$.

Читать дальше: сравнение бесконечно малых функций.