Бесконечно малые функции

Определение

Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при (или в точке ), если

Пример

Функция является бесконечно малой (б.м) функцией при .

Основные свойства бесконечно малых функций

1°   Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2°   Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3°   Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4°   Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5°   Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6°   Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Пример

Задание. Доказать, что функция является бесконечно малой в точке .

Доказательство. Из того, что делаем вывод, что функция является б.м при . Функция является ограниченной: . А тогда их произведение , согласно свойству №3, является функцией б.м.

Теорема

Пусть - предел функции в точке : . Тогда заданную функцию можно представить в виде , где - б.м функция. Верно и обратное утверждение.

Пример

Задание. Доказать, что .

Доказательство. Рассматриваемую функцию представим в виде суммы предела этой функции - числа 5 и бесконечно малой функции :

А тогда, по выше приведенной теореме, делаем вывод, что .

Читать дальше: сравнение бесконечно малых функций.