Непрерывность функции на промежутке

Определение

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция называется непрерывной справа в точке , если .

Функция называется непрерывной слева в точке , если .

Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .

Свойства функций непрерывных на отрезке:

  1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.
  2. Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.
  3. Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и .
  4. Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .

Читать дальше: точки разрыва функции и их классификация.