Предел числовой последовательности

Определение

Последовательность называется сходящейся, если существует такое число такое, что последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Определение

Число называется пределом последовательности и обозначается ,


Число называется пределом последовательности , если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство :

Определение

Целой частью некоторого числа называется наибольшее целое число, не превосходящее

Пример

Задание. Найти целую часть чисел - 2,36; 2,36; 2.

Решение.

Пример

Задание. Доказать равенство:

Доказательство. Исходя из определения, 0 будет пределом последовательности , если для любого найдется такой номер , что для любого выполняется неравенство :

В качестве возьмем

Итак, для любого указано соответствующее значение , а тогда равенство доказано.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Определение

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся; иначе - расходящейся.

Пример

Задание. Доказать, что последовательность не имеет предел.

Доказательство. Пусть - предел рассматриваемой последовательности, то есть . Рассмотрим

Пусть :

Пусть :

Так как полученные выражения не равны, то данная последовательность предела не имеет.

Постоянная последовательность имеет предел, равный числу :

Теорема

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема

(Необходимый признак сходимости последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность на бесконечности

Последовательность имеет бесконечный предел, если для любого

Последовательность называется бесконечно малой, если

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого существует номер такое, что для любого

Теорема

Пусть , тогда

а) ;

б) ;

в) если , то начиная с некоторого номера заданная последовательность

Читать дальше: предельный переход в неравенствах.