Фундаментальные последовательности. Критерий Коши

Определение

Последовательность называется фундаментальной, если для существует номер такой, что для любых выполняется неравенство:

Свойства фундаментальных последовательностей:

  1. Если последовательность фундаментальная, тогда существует такой номер , что в -окрестности точки содержатся все члены последовательности, начиная с этого номера.
  2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограниченная и верхний предел равен нижнему.

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.

Пример

Задание. Доказать сходимость последовательности , используя критерий Коши.

Доказательство. Покажем вначале, что заданная последовательность является фундаментальной, то есть для любого , : : :

Таким образом, для любого существует номер , а значит рассматриваемая последовательность является фундаментальной, а тогда по критерию Коши она является сходящейся.

Читать дальше: предел функции в точке.