Формулы и свойства логарифмов

Определение

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ ( $\log _{a} b$ ) называется такое число $c$, что $b=a^{c}$, то есть записи $\log _{a} b$ и $b=a^{c}$ равносильны. Логарифм имеет смысл, если $a>0, a \neq 1, b>0$.

Если немного перефразировать - Логарифм числа $b$ по основанию $a$ определяется как показатель степени, в которую надо возвести число $a$, чтобы получить число $b$ (Логарифм существует только у положительных чисел).

Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".

Специальные обозначения:

  1. Натуральный логарифм $\ln a$ - логарифм по основанию $e$, где $e$ - число Эйлера.
  2. Десятичный логарифм $\lg a$ - логарифм по основанию 10.

Свойства логарифмов:

1°    $a^{\log _{a} b}=b$ - основное логарифмическое тождество.

2°    $\log _{a} a=1, a>0, a \neq 1$

3°    $\log _{a} 1=0, a>0, a \neq 1$

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4°    $\log _{a}(b c)=\log _{a} b+\log _{a} c$ - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5°    $\log _{a} \frac{b}{c}=\log _{a} b-\log _{a} c$ - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6°    $\log _{a} b^{p}=p \cdot \log _{a} b$ - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°    $\log _{a^{k}} b=\frac{1}{k} \cdot \log _{a} b$

8°    $\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$

9°    $\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$ - переход к новому основанию.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Вычислить $\log _{a} \sqrt{a b}$, если $\log _{a} b=7$

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

$\log _{a} \sqrt{a b}=\frac{1}{2} \log _{a}(a b)=\frac{1}{2}\left(\log _{a} a+\log _{a} b\right)=\frac{1}{2}(1+7)=4$

Ответ. $\log _{a} \sqrt{a b}=4$


Читать дальше: основное логарифмическое тождество.

Другая информация