Правило Лопиталя

Теорема

(Правило Лопиталя).

Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2) и в этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем Правило Лопиталя, формула

Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.

Замечание

Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа при .

Применение правила Лопиталя на практике

Пример

Задание. Найти

Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.

Ответ.

Замечание

Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедится в этом, достаточно сделать замену и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.

Замечание

Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.

Замечание

Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями и , неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.

Пример

Задание. Найти

Решение. Получим неопределенность не подходящую под правило Лопиталя, приведем ее к нужному виду и для решения предела воспользуемся правилом Лопиталя.

Ответ.

Читать дальше: основные неопределенности и способы их раскрытия.