Логарифмы

Определение

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ ( $\log _{a} b$ ) называется такое число $c$, что $b=a^{c}$, то есть записи $\log _{a} b=c$ и $b=a^{c}$ равносильны. Логарифм имеет смысл, если $a>0, a \neq 1, b>0$.

Использование логарифмов позволяет заменить умножение на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня заменяются соответственно на умножение и деление на показатель степени числа.

История логарифмов, применение, интересные факты

Толчком к применению логарифмов стало свойство степеней: при перемножении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $a^{x} \cdot a^{y}=a^{x+y}$. В 8 веке индийский математик Вирасена представил таблицу целочисленных показателей (т.е. логарифмов) оснований 2, 3 и 4. В начале 17 века шотландский математик Джон Непер (1550 - 1617) опубликовал сочинение "Описание удивительной таблицы логарифмов", в котором кратко было описано понятие логарифма, свойства. Термин "логарифм", предложенный ученым, прижился. Теория логарифмов была представлена Непером в книге "Построение удивительной таблицы логарифмов". На разработку теории логарифмов Непера толкнули громоздкие астрологические расчеты. Основным свойством логарифма Непера было следующее свойство: если данные величины образую геометрическую прогрессию, то логарифмы этих величин образую арифметическую.

Через несколько лет после выхода книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. В 1617 году английский математик Генри Бригс (1561 - 1630) издал 14-значные таблицы десятичных логарифмов. Двумя годами позже лондонский учитель математики Джон Спайделл переиздал таблицы Непера, внеся в них исправления и дополнения.

Развитие научной мысли показало, что теория логарифмов годится не только для упрощения расчетов. В 1629 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан (1584 - 1667) показал, что площадь под гиперболой $y=\frac{1}{x}$ изменяется по логарифмическому закону; немецкий математик Николас Меркатор (1620 - 1687) в своей книге "Logarithmotechnia" (1668) опубликовал разложение логарифмической функции в степенной ряд.

До конца 19 века общепринятого обозначения логарифма не было, основание $a$ указывалось то левее и выше символа $\log$, то над ним. В итоге математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания - ниже строки, после символа $\log$, т.е. современный вариант $\log _{a} b$. Обозначения десятичного и натурального логарифмов log, lg, ln появились намного раньше в работах сразу нескольких ученых, но окончательно также закрепились где-то в конце 19 века.

Операция логарифмирования впервые появилась в работах английского математика Джона Валлиса (1616 - 1703) и швейцарского ученого Иоганна Бернулли (1667 - 1748), а окончательно закрепилось после работы Леонарда Эйлера (1707 - 1783) "Введение в анализ бесконечных".

Свое применение и развитие теория логарифмов нашла в рекурсивных алгоритмах, теории фракталов, в теории чисел и математическом анализе, в статистике и теории вероятностей, информатике и вычислительной технике, механике и физике, химии, теории музыки, психологии и философии.


Читать дальше: свойства логарифмов.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация