Ограниченные последовательности

Определение

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что

Примеры исследования последовательности на ограниченность

Пример

Задание. Исследовать последовательность на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера выполняются неравенства:

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.

Ответ. Последовательность ограничена - снизу нулем, а сверху единицей.

Пример

Задание. Исследовать последовательность на ограниченность.

Решение. Рассмотрим и попробуем его оценить сверху:

Так как модуль суммы меньше либо равен сумме модулей: , то получаем, что

Выражение принимает свое максимальное значение, когда знаменатель является наименьшим. Знаменатель будет минимальным при наименьшем значении , то есть для . А тогда

А таким образом, существует такое число , что для любого номера , . Значит, по определению последовательность ограничена.

Ответ. Последовательность ограничена

Читать дальше: бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.