Основные неопределенности и способы их раскрытия

Определение

При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Основные виды неопределенностей: , , , , , ,

Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.

Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

  1. упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
  2. замечательные пределы - первый замечательный предел и второй замечательный предел;
  3. правило Лопиталя;
  4. эквивалентные бесконечно малые функции.

Основные пределы

1. Первый замечательный предел:


Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Получим неопределенность, сделаем замену. При : ,

Ответ.

2. Второй замечательный предел:


Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

Ответ.

3. Предел частного многочленов на бесконечности:

Пример

Задание. Найти предел

Решение.

Ответ.

4. Предел целой рациональной функции: если , то


Пример

Задание. Найти предел функции в точке

Решение.

5. Пределы иррациональных выражений:

а) чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональное выражение в случае, когда предел и числителя, и знаменателя равен нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель и после этого сделать необходимые упрощения. Иррациональность переносится с помощью домножения и числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное к иррациональности.


Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Получим неопределенность и домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к иррациональности.

Ответ.

б) Вычисление пределов, содержащих разность корней:


Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Получим неопределенность и домножим и поделим выражение на сопряженное.

Ответ.

6. Раскрытие неопределенности в частном двух многочленов с помощью разложения на множители:


Пример

Задание. Вычислить предел

Решение. Получим неопределенность, разложим на множители числитель и знаменатель, сократим одинаковые элементы.

Ответ.

Читать дальше: понятие непрерывности функции в точке.