Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е

Теорема Вейерштрасса

Теорема

Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).

Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся.

Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

Применение теоремы Вейерштрасса на практике

Пример

Задание. Доказать, что последовательность сходится.

Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального :

Исследуем заданную последовательность на монотонность:

,

а значит последовательность монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится.

Пример

Задание. Исследовать последовательность , заданную рекуррентно, на сходимость.

Решение. Предположим, что заданная последовательность сходится, тогда существует , а тогда и

Решая полученное уравнение относительно , получаем:

Так как предел неотрицательных чисел не может быть отрицательным, то делаем вывод, что . Итак, если предел последовательности существует, то он равен 4.

Далее докажем, что:

1) ;

2) является монотонно убывающей последовательностью.

Первое утверждение докажем с помощью метода математической индукции:

1 шаг. Проверяем выполнения равенства для . Выполняется.

2 шаг. Делаем индуктивное предположение, что для данное неравенство имеет место, то есть

3 шаг. Проверяем выполнение неравенства для :

А это означает, что неравенство выполняется для любого натурального . Итак, первое утверждение доказано.

Теперь покажем, что последовательность является монотонно убывающей. Рассмотрим разность

Для получаем, что , то есть последовательность монотонно убывает.

Таким образом, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность является сходящейся.

Ответ. Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность , , заданная рекуррентно, является сходящейся.

Замечание

Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, достаточно, чтобы она была ограниченной.

Замечание

Если последовательность монотонная, то для того, чтобы она была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Число е (число Эйлера)

Используя теорему Вейерштрасса, можно показать, что последовательность является сходящейся, то есть имеет предел. Данный предел равен числу е - числу Эйлера, которое является основанием натурального логарифма:

Пример

Задание. Найти предел последовательности , используя тот факт, что

Решение. Приведем последовательность к соответствующему виду.

Ответ.

Пример

Задание. Найти предел

Решение. Для того, чтобы воспользоваться известным нам пределом приведем последовательность к соответствующему виду.

Ответ.

Читать дальше: фундаментальные последовательности, критерий Коши.