Логарифмические уравнения

Определение

Логарифмическое уравнение - это такое уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком логарифма.

При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.

Логарифмировать алгебраическое выражение - значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.

Пример

Задание. Прологарифмировать выражение

Решение. В левой и правой части допишем логарифм по основанию :

По свойствам логарифмов логарифм произведения, стоящий в правой части, представим как сумму логарифмов от каждого из сомножителей, то есть:

Определение

Если по данному результату логарифмирования находят выражение, от которого получен этот результат, то такая операция называется потенцированием.

Пример

Задание. Пропотенцировать выражение

Решение. Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть данного выражения:

1. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение , причем основание логарифма , а подлогарифмическое выражение .

Для любого действительного это уравнение имеет единственное решение .

Пример

Задание. Решить уравнение

Решение. Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): , тогда единственное решение уравнения

Ответ.

2. Логарифмическое уравнение вида

Здесь , - элементарная алгебраическая функция, причем, чтобы уравнение имело решение, должно выполняться неравенство .

Заменой данное уравнение приводится к простейшему логарифмическому уравнению , решение которого приведено в пункте 1.

Пример

Задание. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

Замена: , получаем уравнение , решение которого

Делая обратную замену, получаем:

Ответ.

Пример

Задание. Найти решение уравнения

Решение. ОДЗ:

Замена: . Делая обратную замену, приходим к уравнению

Второй корень не принадлежит ОДЗ, а значит решение

Ответ.

3. Логарифмическое уравнение вида

Здесь - отличное от единицы положительное число; и - элементарные алгебраические функции.

Решение логарифмических уравнений такого типа сводится к решению уравнения . Поэтому для решения рассматриваемого типа уравнений достаточно найти все решения уравнения и среди полученных выбрать те, которые относятся к ОДЗ уравнения . Если уравнение решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение.

Пример

Задание. Решить уравнение

Решение. Находим ОДЗ:

Решаем уравнение : ОДЗ.

Итак, решением исходного логарифмического уравнения также является это значение.

Ответ.

Читать дальше: логарифмические неравенства.