Натуральный логарифм

Для различного рода теоретических и практических исследований наиболее удобным основанием логарифма является иррациональное число .

Определение

Логарифмом числа по основанию ( ) называется такое число , что . Логарифм имеет смысл, если .

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию . Такие логарифмы обозначаются символом ln. Запись означает тоже самое, что и .

Основание натурального логарифма - число е.

Свойства и основные формулы натурального логарифма

1°   

Натуральный логарифм единицы равен нулю (Заметим, что логарифм по любому основанию от 1 равен 0).

2°   

3°   

4°   

5°   

6°    График функции :

График натурального логарифма, функции

Примеры решения задач

Пример

Задание. Вычислить

Решение. Преобразуем данное выражение, применяя к первым логарифмам в числителе и знаменателе свойство суммы логарифмов, а ко вторым свойство логарифма степени.

Ответ.

Дополнительный материал

7°   

8°   

9°   

10°    Ряд Маклорена для натурального логарифма:

Пример

Задание. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Сделаем замену , тогда . Используя приведенное выше разложение, получаем:

Делаем обратную замену, получаем:

или

Читать дальше: десятичный логарифм.