Что такое иррациональное число

Определение иррационального числа

Определение

Иррациональным числом называется действительное число, которое нельзя представить в виде рациональной дроби .

Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби. Множество иррациональных чисел обозначают и оно равно: .

Например. Иррациональными числами являются:

  • для любого натурального , не являющегося точным квадратом;
  • для любого рационального ;
  • для любого положительного рационального ;
  • , а также для любого целого .

Операции над иррациональными числами

На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.

Например. Найдем сумму двух иррациональных чисел и . Первое из этих чисел образовано последовательностью единиц, разделенных соответственно одним нулем, двумя нулями, тремя нулями и т.д., второе - последовательностью нулей, между которыми поставлены одна единица, две единицы, три единицы и т.д.:

Таким образом, сумма двух заданных иррациональных чисел есть число   , которое является рациональным.

Пример

Задание. Доказать, что число является иррациональным.

Доказательство. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что число рациональное, то есть может быть представлено в виде дроби   , где и - взаимно простые натуральные числа.

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Число делится на 3. Поэтому и, следовательно, делится на 3. Полагая , равенство можно записать в виде

Из последнего равенства следует, что и делятся на 3, следовательно, дробь можно сократить на 3. Но по предположению дробь несократима. Полученное противоречие и доказывает, что число непредставимо в виде дроби и, следовательно, иррационально.

Что и требовалось доказать.

Читать дальше: что такое кратное число.