Рациональные числа

Определение

Рациональной дробью называется выражение вида , где целое число называется числителем дроби, а натуральное число - знаменателем дроби.

Рациональные числа - это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и нуль.

Множество рациональных чисел обозначается .

Две рациональные дроби и называются эквивалентными, если .

Пример

Дроби и эквивалентные, так как

Рациональным числом называется множество всех эквивалентных между собой дробей.

Сравниваются рациональные числа следующим образом:

  1. Всякое положительное рациональное число больше нуля.
  2. Всякое отрицательное рациональное число меньше нуля.
  3. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.

Пример

, так как


Арифметические операции с рациональными числами

Сложение рациональных чисел. Чтобы сложить рациональные числа с одинаковыми знаками, складывают их абсолютные величины и перед суммой ставят их общий знак.

Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, необходимо из числа с большей абсолютной величиной вычесть число с меньшей абсолютной величиной и поставить знак числа, большего по модулю.

Пример

Задание. Вычислить   

Вычитание рациональных чисел. Чтобы вычесть одно рациональное число из другого, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Пример

Задание. Вычислить   

Умножение рациональных чисел. Чтобы перемножить два рациональных числа, надо перемножить их абсолютные величины и перед результатом поставить знак плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, или минус, если сомножители разных знаков.

Пример

Задание. Вычислить   

Деление рациональных чисел. Частное от деления двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком плюс.

Частное от деления двух рациональных чисел с разными знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком минус.

Пример

Задание. Вычислить   

Возведение в степень. Степень рационального числа представляет собой произведение нескольких равных сомножителей.

Пример

Задание. Вычислить     ;  

Четная степень отрицательного числа положительная, нечетная степень - отрицательная.

Читать следующую тему: смешанные числа (дроби).