Что такое действительное число

Определение действительного числа

Определение

Действительными или вещественными числами называются все положительные числа, отрицательные числа и нуль.

Множество действительных чисел объединяет в себе множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначается множество действительных чисел .

Например.   - все это действительные числа.

На множестве действительных чисел можно ввести четыре арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение действительных чисел

Для любых двух действительных чисел и существует единственное число , называемое суммой этих чисел. При этом

Свойства операции сложения действительных чисел

  1. Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел и

  2. Ассоциативный закон сложения: для любой тройки чисел , и

  3. Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа

  4. Для любого числа существует число, обозначаемое , такое, что

    число называется противоположным числу ;

Вычитание действительных чисел

Для любых двух действительных чисел и число называется разностью чисел и , и обозначается

Пример

Задание. Найти сумму и разность действительных чисел и

Решение. Сумма заданных чисел равна

Разность:

Ответ.

            

Умножение действительных чисел

На множестве действительных чисел определена операция называемая умножением. Для любых двух действительных чисел и существует единственное число , называемое их произведением и обозначаемая

Свойства операции умножения действительных чисел

  1. Коммутативный закон сложения: для любой пары чисел и

  2. Ассоциативный закон умножения: для любой тройки чисел , и

  3. Нейтральный элемент: существует число, обозначаемое символом 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа

  4. Для любого числа , отличного от нуля, существует число, обозначаемое , такое, что

    число называется обратным числу ;

Деление действительных чисел

Для любых двух действительных чисел и ( отлично от нуля) существует число

называется частным от деления числа на , и обозначается

Пример

Задание. Найти произведение и частное действительных чисел и

Решение. Произведение заданных чисел равно

Частное:

Ответ.

            

Операции сложения и умножения действительных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:


Читать дальше: что такое четное число.