Что такое натуральное число

Определение натурального числа

Определение

Натуральными числами называются числа, которые используются при счете или для указания порядкового номера предмета среди однородных предметов.

Например. Натуральными будут такие числа:

Натуральные числа, записанные в порядке возрастания, образуют числовой ряд. Он начинается с наименьшего натурально числа 1. Множество всех натуральных чисел обозначают . Оно бесконечно, так как не существует наибольшего натурального числа. Если к любому натуральному числу прибавить единицу, то получаем натуральное число, следующее за данным числом.

Пример

Задание. Какие из следующих чисел являются натуральными?

Ответ.

На множестве натуральных чисел вводится две основные арифметические операции - сложение и умножение. Для обозначения этих операций используются соответственно символы " + " и " • " (или " × ").

Сложение натуральных чисел

Каждой паре натуральных чисел и ставится в соответствие натуральное число , называемое суммой. Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах и . О числе говорят, что оно получено в результате сложения чисел и , и пишут

Числа и называются при этом слагаемыми. Операция сложения натуральных чисел обладает следующими свойствами:

  1. Коммутативность:
  2. Ассоциативность:

Подробнее о сложении чисел читайте по ссылке.

Пример

Задание. Найти сумму чисел:

  и  

Решение.

Для вычисления второй суммы, для упрощения вычислений, применим к ней вначале свойство ассоциативности сложения:

Ответ.

Умножение натуральных чисел

Каждой упорядоченной паре натуральных чисел и ставится в соответствие натуральное число , называемое их произведением. Произведение содержит стольких единиц, сколько их содержится в числе , взятых столько раз, сколько единиц содержится в числе . О числе говорят, что оно получено в результате умножения чисел и , и пишут

  или  

Числа и называются множителями или сомножителями.

Операция умножения натуральных чисел обладает следующими свойствами:

  1. Коммутативность:
  2. Ассоциативность:

Подробнее о умножении чисел читайте по ссылке.

Пример

Задание. Найти произведение чисел:

  и  

Решение. По определению операции умножения:

Ко второму произведению применим свойство ассоциативности умножения:

Ответ.

Операция сложения и умножения натуральных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

Сумма и произведение любых двух натуральных чисел всегда есть число натуральное, поэтому множество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.

Так же на множестве натуральных чисел можно ввести операции вычитания и деления, как операции обратные к операциям сложения и умножения соответственно. Но эти операции не будут однозначно определенны для любой пары натуральных чисел.

Свойство ассоциативности умножения натуральных чисел позволяет ввести понятие натуральной степени натурального числа: -й степенью натурального числа называется натуральное число , полученное в результате умножения числа самого на себя раз:

Для обозначения -й степени числа обычно используется запись: , в котором число называется основанием степени, а число - показателем степени.

Пример

Задание. Найти значение выражения

Решение. По определению натуральной степени натурального числа это выражение можно записать следующим образом

Ответ.

Читать дальше: что такое рациональное число.