Как найти вектор по точкам

Формула

Чтобы найти координаты вектора $\overline{A B}$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $A\left(x_{1} ; y_{1}\right)$ и конца $B\left(x_{2} ; y_{2}\right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть

$$\overline{A B}=\left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}\right)$$

Чтобы найти координаты вектора $\overline{A B}$, заданного в пространстве координатами $A\left(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}\right)$ и $B\left(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}\right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:

$$\overline{A B}=\left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1} ; z_{2}-z_{1}\right)$$

Примеры нахождения координат вектора по точкам

Пример

Задание. Даны точки $A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $\overline{A B}$ и $\overline{B A}$

Решение. Для вектора $\overline{A B}$ точка $A$ является началом, а точка $B$ - концом. Тогда координаты вектора $\overline{A B}$ равны

$$\overline{A B}=(2-4 ; 1-(-1))=(-2 ; 2)$$

Для вектора точка $B$ является началом, а точка $A$ - концом. Тогда координаты вектора $\overline{B A}$ равны

$$\overline{B A}=(4-2 ;-1-1)=(2 ;-2)$$

Ответ. $\overline{A B}=(-2 ; 2), \overline{B A}=(2 ;-2)$

Пример

Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов $\overline{A B}$, $\overline{A C}$, $\overline{B C}$

Решение. Для искомого вектора $\overline{A B}$ точка $A$ является началом, а точка $B$ - концом. Тогда координаты вектора $\overline{A B}$ соответственно равны:

$$\overline{A B}=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)$$

Для вектора $\overline{A C}$ точка $A$ является началом, а точка $C$ - концом. Тогда его координаты соответственно равны

$$\overline{A C}=(0-1 ;-1-(-2) ; 1-0,5)=(-1 ; 1 ; 0,5)$$

Для вектора $\overline{B C}$ точка $B$ является началом, а точка $C$ - концом. Его координаты равны

$$\overline{B C}=(0-3 ;-1-2 ; 1-1,5)=(-3 ;-3 ;-0,5)$$

Ответ. $\overline{A B}=(2 ; 4 ; 1), \overline{A C}=(-1 ; 1 ; 0,5), \overline{B C}=(-3 ;-3 ;-0,5)$

Читать дальше: как найти сумму векторов.

Другая информация