Как найти угол между векторами

Формула

Чтобы найти угол $\phi$ между векторами нужно вначале найти косинус угла, а затем от него найти арккосинус, то есть:

$$\phi=\arccos (\cos \phi)$$

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин. В случае если векторы заданны на плоскости и имеют координаты $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$, $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right)$, то косинус между ними вычисляется по формуле:

$$\cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$

В случае, если векторы заданы в пространстве, то есть $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right)$, то косинус угла между ними равен:

$$\cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$

Примеры вычисления угла между векторами

Пример

Задание. Найти угол $\phi$ между векторами $\bar{a}=(1 ; 3)$ и $\bar{b}=(4 ; 2)$

Решение. Сначала по формуле

$$\cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$

найдем косинус угла между заданными векторами:

$$\begin{aligned} \cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=& \frac{1 \cdot 4+3 \cdot 2}{\sqrt{1^{2}+3^{2}} \cdot \sqrt{4^{2}+2^{2}}}=\frac{4+6}{\sqrt{1+9} \cdot \sqrt{16+4}}=\\ &=\frac{10}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}} \end{aligned}$$

Тогда искомый угол равен

$$\phi=\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=45^{\circ}$$

Ответ. $\phi=45^{\circ}$

Пример

Задание. Найти угол $\phi$ между векторами $\bar{a}=(8 ;-7 ;-2)$ и $\bar{b}=(7 ;-11 ; 8)$

Решение. Найдем сначала косинус угла между заданными векторами, для этого воспользуемся формулой

$$\cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$

Подставляя координаты векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$, получим

$$\begin{aligned} \cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{8 \cdot 7+(-7) \cdot(-11)+(-2) \cdot 8}{\sqrt{8^{2}+(-7)^{2}+(-2)^{2}} \sqrt{7^{2}+(-11)^{2}+8^{2}}} &=\\=\frac{56+77-16}{\sqrt{64+49+4} \sqrt{49+121+64}}=\frac{117}{\sqrt{117} \sqrt{234}}=\\=\frac{117}{117 \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$

Угол же будет равен

$$\phi=\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=45^{\circ}$$

Ответ. $\phi=45^{\circ}$

Читать дальше: как найти косинус угла между векторами.

Другая информация