Как найти длину вектора

Формула

Чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат. Если вектор задан на плоскости и имеет координаты $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$, его длина вычисляется по формуле:

$$|\bar{a}|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$

Если вектор задан в пространстве координатами $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$, то его длина вычисляется по формуле

$|\bar{a}|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$

Примеры вычисления длины вектора

Пример

Задание. Найти длину вектора $\bar{a}=(-3 ; 4)$

Решение. Для нахождения длины вектора, заданного на плоскости, воспользуемся формулой

$$|\bar{a}|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$

Подставляя в неё координаты заданного вектора, получим:

$$|\bar{a}|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Ответ. $|\bar{a}|=5$

Пример

Задание. В пространстве заданы точки $A(3 ;-2 ;-1)$ и $ B(1 ; 2 ;-5)$. Найти длину вектора $\overline{A B}$

Решение. Найдем сначала координаты вектора $\overline{A B}$. Для этого из координат конца вычислим соответствующие координаты начала, получим:

$$\overline{A B}=(1-3 ; 2-(-2) ;-5-(-1))=(-2 ; 4 ;-4)$$

нахождения длины вектора $\overline{A B}$ воспользуемся формулой:

$$|\bar{a}|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$$

Подставляя в эту формулу координаты вектора, получим

$$|\overline{A B}|=\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6$$

Ответ. $|\overline{A B}|=6$

Читать дальше: как найти модуль вектора.

Другая информация