Задание. Найти векторное произведение векторов $\bar{a}=(1 ; 0 ; 0)$ и $\bar{b}=(0 ; 1 ; 0)$
Решение. Для вычисления векторного произведения заданных векторов воспользуемся формулой
$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right|$$Подставляя координаты заданных векторов, получим:
$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{lll}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right|$$Раскладываем определитель по первой строке:
$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right|=$$ $$=\bar{i} \cdot\left|\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right|-\bar{j} \cdot\left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right|+\bar{k} \cdot\left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right|=$$ $$=0 \cdot \bar{i}-0 \cdot \bar{j}+1 \cdot k$$Первые два определителя равны нулю, так как они содержат нулевой столбец, а третий определитель вычисляем как определитель второго порядка: от произведения элементов главной диагонали отнимаем произведение элементов побочной.
Итак, координаты искомого вектора равны коэффициентам при ортах, то есть
$$[\bar{a}, \bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$$Ответ. $[\bar{a}, \bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$
