Как найти векторное произведение векторов

Формула

Для того чтобы найти векторное произведение $[\bar{a}, \bar{b}]$ двух векторов, заданных своими координатами $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right)$ соответственно, необходимо вычислить следующий определитель

$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right|$$

Обычно такой определитель вычисляют разложением по первой строке. Отметим также, что результатом векторного произведения является вектор.

Примеры вычисления векторного произведения векторов

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов $\bar{a}=(1 ; 0 ; 0)$ и $\bar{b}=(0 ; 1 ; 0)$

Решение. Для вычисления векторного произведения заданных векторов воспользуемся формулой

$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right|$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим:

$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{lll}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right|$$

Раскладываем определитель по первой строке:

$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right|=$$ $$=\bar{i} \cdot\left|\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right|-\bar{j} \cdot\left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right|+\bar{k} \cdot\left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right|=$$ $$=0 \cdot \bar{i}-0 \cdot \bar{j}+1 \cdot k$$

Первые два определителя равны нулю, так как они содержат нулевой столбец, а третий определитель вычисляем как определитель второго порядка: от произведения элементов главной диагонали отнимаем произведение элементов побочной.

Итак, координаты искомого вектора равны коэффициентам при ортах, то есть

$$[\bar{a}, \bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$$

Ответ. $[\bar{a}, \bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$

Пример

Задание. Даны векторы $\bar{a}=(5 ; 3 ;-4)$ и $\bar{b}=(6 ; 7 ;-8)$ . Найти координаты векторного произведения $[\bar{a}, \bar{b}]$

Решение. Координаты векторного произведения $[\bar{a}, \bar{b}]$ вычисляются по формуле

$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right|$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим:

$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 5 & 3 & -4 \\ 6 & 7 & -8\end{array}\right|$$

Раскладываем полученный определитель по первой строке:

$$=\bar{i} \cdot\left|\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 7 & -8\end{array}\right|-\bar{j} \cdot\left|\begin{array}{cc}5 & -4 \\ 6 & -8\end{array}\right|+\bar{k} \cdot\left|\begin{array}{cc}5 & 3 \\ 6 & 7\end{array}\right|=$$ $$=[3 \cdot(-8)-7 \cdot(-4)] \cdot \bar{i}-[5 \cdot(-8)-6 \cdot(-4)] \cdot \bar{j}+$$ $$+[5 \cdot 7-6 \cdot 3] \cdot \bar{k}=(-24+28) \bar{i}-(-40+24) \bar{j}+(35-18) \bar{k}=$$ $$=4 \cdot \bar{i}+16 \cdot \bar{j}+17 \cdot \bar{k}$$

Тогда

$$[\bar{a}, \bar{b}]=(4 ; 16 ; 17)$$

Ответ. $[\bar{a}, \bar{b}]=(4 ; 16 ; 17)$

Читать дальше: как найти смешанное произведение векторов.

Другая информация