Как найти проекцию вектора

Формула

Чтобы найти проекцию вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$, надо скалярное произведение указанных векторов поделить на длину (модуль) вектора $\bar{b}$, то есть

$$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}$$

В случае если векторы заданы на плоскости и имеют координаты $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right)$, то проекция вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$ вычисляется по формуле:

$$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$

Если векторы заданы в пространстве, то есть имеют координаты \bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right) \text { и } \bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right), то проекция вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$ вычисляется по формуле:

$$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$

Примеры нахождения проекции вектора на вектор

Пример

Задание. Найти проекцию вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$, если $\bar{a}=(-1 ; 0)$ и $\bar{b}=(3 ;-4)$

Решение. Для нахождения проекции вектора $\bar{a}$ на вектор $\bar{b}$, будем использовать формулу

$$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$

Подставляя в неё координаты заданных векторов, получим:

$$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}=\frac{-1 \cdot 3+0 \cdot(-4)}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{-3+0}{\sqrt{9+16}}=\frac{-3}{\sqrt{25}}=-\frac{3}{5}$$

Ответ.  $Пр_{\bar{b}} \bar{a}=-\frac{3}{5}$

Пример

Задание. Найти проекцию вектора $\bar{a}=(-2 ; 3 ; 0)$ на вектор $\bar{b}=(-2 ; -1 ; 5)$

Решение. Подставляя координаты заданных векторов в формулу

$$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$

получим:

$$Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|b|} =\frac{-2 \cdot(-2)+3 \cdot(-1)+0 \cdot 5}{\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+5^{2}}}=$$ $$=\frac{4-3+0}{\sqrt{4+1+25}}=\frac{1}{\sqrt{30}}$$

Ответ.  $Пр_{\bar{b}} \bar{a}=\frac{1}{\sqrt{30}}$

Читать дальше: как найти длину вектора.

Другая информация