Содержание:

Формула

Чтобы найти орт $\bar{e}$ вектора $\bar{a}$, нужно вектор $\bar{a}$ поделить на его длину:

$$\bar{e}=\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}$$

Если вектор задан на плоскости своими координатами $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$, то его орт вычисляется по формуле:

$$\bar{e}=\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{x} \cdot \bar{i}+a_{y} \cdot \bar{j}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}=\left(\frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} ; \frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}\right)$$

Если вектор задан в пространстве и имеет координаты $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$, то его орт вычисляется по формуле:

$$\bar{e}=\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{x} \cdot \bar{i}+a_{y} \cdot \bar{j}+a_{z} \cdot \bar{k}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}=$$ $$=\left(\frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; \frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; \frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}\right)$$

Примеры нахождения орта вектора

Пример

Задание. На плоскости задан вектор $\bar{a}=(-2 ; 2)$ . Найти его орт.

Решение. Для нахождения орта заданного вектора воспользуемся формулой:

$$\bar{e}=\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{x} \cdot \bar{i}+a_{y} \cdot \bar{j}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}$$

Подставляя заданные координаты, получим:

$$\bar{e}=\frac{-2 \cdot \bar{i}+2 \cdot \bar{j}}{\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}}=\frac{-2 \cdot \bar{i}+2 \cdot \bar{j}}{\sqrt{4+4}}=\frac{-2 \cdot \bar{i}+2 \cdot \bar{j}}{\sqrt{8}}=$$ $$=\frac{-2 \cdot \bar{i}+2 \cdot \bar{j}}{2 \sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \bar{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \bar{j}$$

Таким образом, искомый орт вектора $\bar{a}$ имеет координаты $\bar{e}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Ответ. $\bar{e}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} ; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Слишком сложно?

Как найти орт вектора не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Даны точки $A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора $\overline{A B}$

Решение. Найдем координаты вектора $\overline{A B}$, для этого из координат конца вектора (точки $B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки $A$ ):

$$\overline{A B}=(2-3 ; 0-(-1) ; 2-4)=(-1 ; 1 ;-2)$$

Для нахождения орта полученного вектора воспользуемся формулой

$$\bar{e}=\frac{a_{x} \cdot \bar{i}+a_{y} \cdot \bar{j}+a_{z} \cdot \bar{k}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$$

Подставим в неё координаты вектора $\overline{A B}$, будем иметь:

$$\bar{e}=\frac{-1 \cdot \bar{i}+1 \cdot \bar{j}-2 \cdot \bar{k}}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{-1 \cdot \bar{i}+1 \cdot \bar{j}-2 \cdot \bar{k}}{\sqrt{1+1+4}}=$$ $$=\frac{-1 \cdot \bar{i}+1 \cdot \bar{j}-2 \cdot \bar{k}}{\sqrt{6}}=-\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \bar{i}+\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \bar{j}-\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \bar{k}$$

Таким образом, орт вектора $\overline{A B}$ имеет координаты $\bar{e}=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}} ; \frac{1}{\sqrt{6}} ;-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$

Ответ. $\bar{e}=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}} ; \frac{1}{\sqrt{6}} ;-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$

Читать дальше: как найти вектор по точкам.