Содержание:

Формула

Чтобы найти косинус угла между векторами нужно, скалярное произведение этих векторов разделить на произведение их длин.

В случае если векторы заданны на плоскости и имеют координаты $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right)$, то косинус между ними вычисляется по формуле:

$$\cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$

Если же векторы заданы в пространстве, то есть $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right)$, то косинус угла вычисляется по формуле

$$\cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$

Примеры вычисления косинуса угла между векторами

Пример

Задание. Найти косинус угла $\phi$ между векторами $\bar{a}=(4 ;-3)$ и $\bar{b}=(1 ;-2)$

Решение. Так как векторы заданы на плоскости, воспользуемся формулой

$\cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$

Подставим координаты заданных векторов:

$$\cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{4 \cdot 1+(-3) \cdot(-2)}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=$$ $$=\frac{4+6}{\sqrt{16+9} \sqrt{1+4}}=\frac{10}{\sqrt{25} \sqrt{5}}=\frac{10}{5 \sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$$

Ответ. $\cos \phi=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Слишком сложно?

Как найти косинус угла между векторами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Найти косинус угла между векторами $\bar{a}=(3 ;-4 ; 0)$ и $\bar{b}=(4 ;-4 ;-2)$, заданных в пространстве.

Решение. Для нахождения косинуса угла между заданными векторами, воспользуемся формулой

$$\cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \cdot \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$

Подставляя координаты векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$, получим

$$\begin{aligned} \cos \phi=\frac{(\bar{a}, \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{3 \cdot 4+(-4) \cdot(-4)+0 \cdot(-2)}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+0^{2}} \sqrt{4^{2}+(-4)^{2}+(-2)^{2}}} &=\\=\frac{12+16+0}{\sqrt{9+16+0} \sqrt{16+16+4}}=\frac{28}{\sqrt{25} \sqrt{36}}=\frac{28}{5 \cdot 6}=\frac{14}{15} \end{aligned}$$

Ответ. $\begin{aligned} \cos \phi=\frac{14}{15} \end{aligned}$

Читать дальше: как найти скалярное произведение векторов.