Содержание:

Формула

Чтобы найти направляющие косинусы вектора $\bar{a}$, заданного на плоскости своими координатами $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ нужно воспользоваться формулами:

$$\cos \alpha=\frac{a_{x}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}, \quad \cos \beta=\frac{a_{y}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}$$

То есть необходимо соответствующую координату вектора поделить на его длину.

В случае если вектор задан в пространстве $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$, имеют место следующие формулы для нахождения направляющих косинусов этого вектора:

$$\begin{aligned} \cos \alpha=\frac{a_{x}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} &, \text { cos } \beta=\frac{a_{y}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} \\ \cos \gamma=\frac{a_{z}}{|\bar{a}|}=& \frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} \end{aligned}$$

Примеры вычисления направляющих косинусов вектора

Пример

Задание. Дан вектор $\bar{a}=(1 ;-1)$, найти его направляющие векторы.

Решение. Вектор задан на плоскости. Направляющие косину найдем по формулам:

$$\cos \alpha=\frac{a_{x}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}, \quad \cos \beta=\frac{a_{y}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}$$

Подставим в них координаты заданного вектора, получим

$$\begin{aligned} \cos \alpha=\frac{a_{x}}{|\bar{a}|} &=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos \beta=\frac{a_{y}}{|\bar{a}|} &=\frac{-1}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{-1}{\sqrt{1+1}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

Ответ. $\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos \beta=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Слишком сложно?

Как найти направляющие косинусы вектора не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Дан вектор $\bar{a}=(2 ;-1 ;-2)$, найти его направляющие векторы и составить единичный вектор $\bar{a}_0$ направлений вектора $\bar{a}$ .

Решение. Вектор задан в пространстве, поэтому для нахождения направляющих векторов воспользуемся формулами

$\begin{aligned} \cos \alpha=\frac{a_{x}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} &, \quad \cos \beta=\frac{a_{y}}{|\bar{a}|}=\frac{a_{y}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} \\ \cos \gamma=\frac{a_{z}}{|\bar{a}|}=& \frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} \end{aligned}$

Подставляя в эти формулы координаты заданного вектора, получим

$$\begin{aligned} \cos \alpha=\frac{a_{x}}{|\bar{a}|}=\frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} &=\frac{2}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{2}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3} \\ \cos \beta=\frac{a_{y}}{|\bar{a}|}=\frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} &=\frac{-1}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{-1}{\sqrt{9}}=-\frac{1}{3} \\ \cos \gamma=\frac{a_{z}}{|\bar{a}|}=\frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} &=\frac{-2}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{-2}{\sqrt{9}}=-\frac{2}{3} \end{aligned}$$

Составим единичный вектор $\bar{a}_0$ направлений вектора $\bar{a}$ . Он равен

$$\bar{a}_{0}=(\cos \alpha ; \cos \beta ; \cos \gamma)=\left(\frac{2}{3} ;-\frac{1}{3} ;-\frac{2}{3}\right)$$

Ответ. $\cos \alpha=\frac{2}{3}, \cos \beta=-\frac{1}{3}, \quad \cos \gamma=-\frac{2}{3}, \bar{a}_{0}=\left(\frac{2}{3} ;-\frac{1}{3} ;-\frac{2}{3}\right)$

Читать дальше: как найти угол между векторами.