Как найти скалярное произведение векторов

Формула

Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, необходимо вычислить сумму произведений соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right)$, имеет место формула:

$$(\bar{a}, \bar{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}$$

Если же векторы заданы в пространстве своими координатами: $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right)$ соответственно, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

$$(\bar{a}, \bar{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}$$

Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов $\bar{a}=(1 ;-3)$ и $\bar{b}=(-2 ;-3)$

Решение. Векторы заданны на плоскости, поэтому для вычисления их скалярного произведения воспользуемся формулой

$$(\bar{a}, \bar{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим

$$(\bar{a}, \bar{b})=1 \cdot(-2)+(-3) \cdot(-3)=-2+9=7$$

Ответ. $(\bar{a}, \bar{b})=7$

Пример

Задание. В пространстве заданы точки $A(-1 ;-2 ; 5), B(-3 ; 2 ; 1)$ и $C(0 ; 1 ;-1)$ . Найти скалярное произведение векторов $\overline{A B}$ и $\overline{A C}$

Решение. Найдем сначала координаты векторов $\overline{A B}$ и $\overline{A C}$ . Для этого из координат конца вычислим соответствующие координаты начала, получим:

$$\overline{A B}=(-3-(-1) ; 2-(-2) ; 1-5)=(-2 ; 4 ;-4)$$ $$\overline{A C}=(0-(-1) ; 1-(-2) ;-1-5)=(1 ; 3 ;-6)$$

Далее воспользуемся формулой для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в пространстве:

$$(\bar{a}, \bar{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}$$

Получим

$$(\overline{A B}, \overline{A C})=(-2) \cdot 1+4 \cdot 3+(-4)(-6)=-2+12+24=34$$

Ответ. $(\overline{A B}, \overline{A C})=34$

Читать дальше: как найти векторное произведение векторов.

Другая информация