Содержание:

Формула

Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, необходимо вычислить сумму произведений соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right)$, имеет место формула:

$$(\bar{a}, \bar{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}$$

Если же векторы заданы в пространстве своими координатами: $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right)$ соответственно, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

$$(\bar{a}, \bar{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}$$

Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов $\bar{a}=(1 ;-3)$ и $\bar{b}=(-2 ;-3)$

Решение. Векторы заданны на плоскости, поэтому для вычисления их скалярного произведения воспользуемся формулой

$$(\bar{a}, \bar{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим

$$(\bar{a}, \bar{b})=1 \cdot(-2)+(-3) \cdot(-3)=-2+9=7$$

Ответ. $(\bar{a}, \bar{b})=7$ \lt /$>

Слишком сложно?

Как найти скалярное произведение векторов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. В пространстве заданы точки $A(-1 ;-2 ; 5), B(-3 ; 2 ; 1)$ и $C(0 ; 1 ;-1)$ . Найти скалярное произведение векторов $\overline{A B}$ и $\overline{A C}$

Решение. Найдем сначала координаты векторов $\overline{A B}$ и $\overline{A C}$ . Для этого из координат конца вычислим соответствующие координаты начала, получим:

$$\overline{A B}=(-3-(-1) ; 2-(-2) ; 1-5)=(-2 ; 4 ;-4)$$ $$\overline{A C}=(0-(-1) ; 1-(-2) ;-1-5)=(1 ; 3 ;-6)$$

Далее воспользуемся формулой для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в пространстве:

$$(\bar{a}, \bar{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z}$$

Получим

$$(\overline{A B}, \overline{A C})=(-2) \cdot 1+4 \cdot 3+(-4)(-6)=-2+12+24=34$$

Ответ. $(\overline{A B}, \overline{A C})=34$

Читать дальше: как найти векторное произведение векторов.