Как найти вектор коллинеарный вектору

Формула

Для того чтобы вектор $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ был коллинеарным вектору $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right)$ необходимо, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны, то есть их координаты удовлетворяли условию

$$\frac{a_{x}}{b_{x}}=\frac{a_{y}}{b_{y}}$$

Если векторы заданны в пространстве своими координатами: $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right), \bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right)$, тогда условие коллинеарности имеет вид:

$$\frac{a_{x}}{b_{x}}=\frac{a_{y}}{b_{y}}=\frac{a_{z}}{b_{z}}$$

Примеры нахождения коллинеарного вектора

Пример

Задание. Даны два вектора $\bar{a}=(2 ;-3)$ и $\bar{b}=(-1 ; m)$. При каком значении $m$ эти векторы будут коллинеарными?

Решение. Для того чтобы векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ были коллинеарными необходимо, чтобы их координаты были пропорциональными, то есть удовлетворяли условию:

$$\frac{a_{x}}{b_{x}}=\frac{a_{y}}{b_{y}}$$

Подставим координаты заданных векторов в это равенство и найдем значение $m$:

$$\frac{2}{-1}=\frac{-3}{m}$$

По пропорции имеем:

$$2 \cdot m=(-1) \cdot(-3) \Rightarrow 2 \cdot m=3 \Rightarrow m=\frac{3}{2}=1,5$$

Ответ. Векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ будут коллинеарными при $m=1,5$

Пример

Задание. Заданы два вектора $\bar{a}=(4 ;-m ; 1)$ и $\bar{b}=(2 ;-3 ; n)$. При каких значениях $m$ и $n$ векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ будут коллинеарными?

Решение. Для того чтобы векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ были коллинеарными необходимо, чтобы их координаты были пропорциональными, то есть чтобы выполнялись следующие равенства:

$$\frac{4}{2}=\frac{-m}{-3}=\frac{1}{n}$$

А тогда значения неизвестных параметров $m$ и $n$ находим из равенств

$$\frac{m}{3}=2 \Rightarrow m=6$$ $$\frac{1}{n}=2 \Rightarrow n=\frac{1}{2}=0,5$$

Ответ. Векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ будут коллинеарными при $m=6$ и $n=0,5$

Читать дальше: как найти вектор перпендикулярный вектору.

Другая информация