Как найти координаты вектора

Формула

Чтобы найти координаты вектора $\overline {A B}$, если заданы координаты его начала и конца, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно координаты $A\left(x_{A} ; y_{A}\right)$ и $B\left(x_{B} ; y_{B}\right)$, то координаты вектора $\overline {A B}$ вычисляются по формуле:

$$\overline{A B}=\left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}\right)$$

Если точки заданы в пространстве и имеют координаты $A\left(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}\right)$ и $B\left(x_{B} ; y_{B} ; z_{B}\right)$ соответственно, то координаты вектора $\overline {A B}$ вычисляются по следующей формуле:

$$\overline{A B}=\left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A} ; z_{B}-z_{A}\right)$$

Примеры нахождения координат вектора

Пример

Задание. Даны точки $A(5 ; 1)$ и $B(4 ;-3)$. Найти координаты векторов $\overline {A B}$ и $\overline {B A}$

Решение. Точки заданны на плоскости, поэтому координаты вектора $\overline {A B}$ вычислим по формуле:

$$\overline{A B}=\left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A}\right)$$

Подставляя координаты заданных точек, получим:

$$\overline{A B}=(4-5 ;-3-1)=(-1 ;-4)$$

Для нахождения вектора $\overline {B A}$ исходная формула примет вид:

$$\overline{B A}=\left(x_{A}-x_{B} ; y_{A}-y_{B}\right)$$

то есть

$$\overline{B A}=(5-4 ; 1-(-3))=(1 ; 4)$$

Ответ. $\overline{A B}=(-1 ;-4), \overline{B A}=(1 ; 4)$

Пример

Задание. Даны точки $A(4 ; 3 ; 2)$, $B(-3 ; 2 ;-1)$ и $C(-1 ; 0 ; 1)$ . Найти координаты вектора $\overline {A B}$, $\overline {C B}$ .

Решение. Точки заданны в пространстве, поэтому для нахождения координат искомых векторов будем пользоваться формулой

$\overline{A B}=\left(x_{B}-x_{A} ; y_{B}-y_{A} ; z_{B}-z_{A}\right)$

Подставляя заданные координаты, получим:

$$\overline{A B}=(-3-4 ; 2-3 ;-1-2)=(-7 ;-1 ;-3)$$

Для вектора $\overline {C B}$ имеем:

$\overline{C B}=\left(x_{B}-x_{C} ; y_{B}-y_{C} ; z_{B}-z_{C}\right)$ $\overline{C B}=(-3-(-1) ; 2-0 ;-1-1)=(-2 ; 2 ;-2)$

Ответ. $\overline{A B}=(-7 ;-1 ;-3), \overline{C B}=(-2 ; 2 ;-2)$

Читать дальше: как найти направляющие косинусы вектора.

Другая информация