Как найти смешанное произведение векторов

Формула

Для того чтобы найти смешанное произведение $(\bar{a}$, $\bar{b}$, $\bar{c})$ трех векторов, заданных своими координатами $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right), b=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right)$ и $\bar{c}=\left(c_{x}, c_{y}, c_{z}\right)$ необходимо вычислить следующий определитель, где по строкам записаны координаты заданных векторов, то есть

$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z}\end{array}\right|$$

Примеры вычисления смешанного произведения векторов

Пример

Задание. Вычислить смешанное произведение векторов $\bar{a}=(1 ; 3 ; 1)$, $\bar{b}=(2 ; 1 ; 3)$, и $\bar{c}=(3 ; 1 ; 2)$

Решение. Для нахождения смешанного произведения заданных векторов воспользуемся формулой

$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z}\end{array}\right|$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим:

$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right|$$

Определитель вычисляем по правилу треугольника:

$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right|=1 \cdot 1 \cdot 2+3 \cdot 3 \cdot 3+2 \cdot 1 \cdot 1-$$ $$-1 \cdot 1 \cdot 3-3 \cdot 2 \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1=2+27+2-3-12-3=13$$

Ответ. $(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=13$

Пример

Задание. Даны три вектора $\bar{a}=(1 ;-2 ; 3), \bar{b}=(3 ;-5 ; 6)$ и $\bar{c}=(5 ;-4 ; 1)$. Проверить, являются ли они компланарными, если нет, определить левую или правую тройку они образуют.

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов. Для этого воспользуемся формулой

$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z}\end{array}\right|$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим

$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ 3 & -5 & 6 \\ 5 & -4 & 1\end{array}\right|$$

Определитель вычисляем по правилу треугольника:

$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ 3 & -5 & 6 \\ 5 & -4 & 1\end{array}\right|=1 \cdot(-5) \cdot 1+(-2) \cdot 5 \cdot 6+$$ $$+3 \cdot 3 \cdot(-4)-3 \cdot(-5) \cdot 5-3 \cdot(-2) \cdot 1-1 \cdot 6 \cdot(-4)=$$ $$-5-60-36+75+6+24=4 \neq 0$$

Смешанное произведение заданных векторов не равно нулю, следовательно, векторы некомпланарные. Так как смешанное произведение положительно, то делаем вывод, что заданные векторы образуют правую тройку.

Ответ. Векторы некомпланарны и образуют правую тройку.

Читать дальше: как найти вектор коллинеарный вектору.

Другая информация