Интегрирование заменой переменной

Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.

Если в неопределенном интеграле сделать подстановку , где функция - функция с непрерывной первой производной, то тогда и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание

После нахождения интеграла по новой переменной необходимо вернуться к первоначальной переменной .

Замечание

В некоторых случаях целесообразно делать подстановку , тогда

Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Сделаем замену переменной: , далее приведем интеграл к табличному виду и решим его. В конце решения делаем обратную замену.

Ответ.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Упростим подынтегральную функцию, а потом сделаем замену переменной:

Ответ.

Следствия из метода интегрирования заменой переменной

Используя метод подстановки, можно получить следующие соотношения для некоторых интегралов, которые рационально использовать уже в конечном виде, а не каждый раз производить вычисления:

то есть

Аналогично можно показать, что

Подобные соотношения можно было вывести и с использованием метода внесения под дифференциал.


Читать дальше: метод интегрирования по частям.