Метод интегрирования по частям

Рассмотрим функции и , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.

Замечание

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1)   ;     ;  

Здесь - многочлен степени , - некоторая константа. В данном случае в качестве функции берется многочлен, а в качестве - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется раз.

Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям.

Ответ.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.

Ответ.

2)  ;     ;  

Здесь принимают, что , а в качестве оставшиеся сомножители.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям.

Ответ.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.

Ответ.

3)  ;  

В данном случае в качество берется либо экспонента, либо тригонометрическая функция. Единственным условием есть то, что при дальнейшем применении формулы интегрирования по частям в качестве функции берется та же функция, то есть либо экспонента, либо тригонометрическая функция соответственно.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям.

Таким образом, получили равенство:

Перенося интеграл из правой части равенства в левую, имеем:

или

Далее домножая левую и правую части равенства на , окончательно имеем:

Ответ.

Читать дальше: простейшие дроби.