Метод непосредственного интегрирования

Определение

Метод интегрирования, при котором интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Таким образом, алгоритм действий следующий:

  1. тождественное преобразование подынтегральной функции;
  2. применение свойств неопределенного интеграла: вынесение константы за знак интеграла, представление интеграла от суммы функций в вид суммы интегралов;
  3. использование таблицы интегралов.

В простейших примерах для применения непосредственного интегрирования достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла.

При определенной практике интегрирования обычно эти действия проводят устно, записывая лишь результат интегрирования.

Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к нескольким табличным.

В некоторых случаях выражение, стоящее под знаком интеграла, можно с помощью алгебраических преобразований упростить так, чтобы можно было применить метод непосредственного интегрирования.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Используем формулу квадрата суммы и свойства интеграла, затем приведем данный интеграл к нескольким табличным.

Ответ.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Упростим подынтегральную функцию, затем с помощью свойств интеграла приведем данный интеграл к нескольким табличным.

Ответ.

Пример

Задание. Найти интеграл

Решение. Для упрощения подынтегральной функции воспользуемся тригонометрическими функциями. Затем с помощью свойств интеграла приведем данный интеграл к табличному виду.

Ответ.

Читать дальше: интегрирование внесением под дифференциал.