Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера

Пусть - некоторое комплексное число. По определению полагают, что

Если число - действительное, то есть , то

Если число - чисто мнимое, то есть , то

Таким образом, имеем равенство

которое называется формулой Эйлера.

Показательная форма записи комплексного числа

Рассмотрим произвольное комплексное число, записанное в тригонометрической форме: . По формуле Эйлера

а тогда

Следовательно, любое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:

Показательная форма записи комплексного числа

Пример

Задание. Записать комплексное число в показательной форме.

Решение. Найдем модуль и аргумент заданного комплексного числа:

Тогда

Ответ.

Операции с комплексными числами в показательной форме

Такая форма представления позволяет дать наглядную интерпретацию операциям умножения комплексных чисел, их деления и возведения комплексного числа в степень. Например, умножение комплексного числа на комплексное число выглядит следующим образом:

То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.

Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа на комплексное число :

Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.

Для возведения комплексного числа в целую степень нужно представить это число в показательной форме , модуль возвести в степень, а аргумент увеличить в раз:


Читать дальше: сложение и вычитание комплексных чисел.