Извлечение корня из комплексного числа

Определение

Корнем -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , то есть

Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик):

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник.

Пример

Задание. Вычислить корень четвертой степени из

Решение. Запишем заданное число в тригонометрической форме, для этого вычислим модуль и аргумент:

То есть

Тогда

Отсюда все значения корня:

Покажем, что все значения корня лежат на окружности радиуса и образуют правильный четырехугольник, то есть квадрат (рис. 1):

Ответ.

 

Читать дальше: формула Эйлера для комплексных чисел.