Возведение комплексного числа в натуральную степень

Возводить в натуральную степень , если она достаточно велика, комплексные числа проще всего в тригонометрической форме, то есть если число задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической.

Пусть число , тогда умножая его само на себя раз (что эквивалентно тому, что мы его возводим в степень ), получим:

Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.

Если , то получаем, что

Данная формула называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик).

Пример

Задание. Найти , если

Решение. Вначале запишем заданное комплексное число в тригонометрической форме, для этого вычислим его модуль и аргумент:

Тогда

А отсюда, согласно формуле, имеем:

Ответ.

Читать дальше: извлечения корня из комплексного числа.