Производная степенной функции

Формула

Производная степенной функции

Производная степенной функции равна произведению показателя степени и основания в степени на единицу меньше.

Заметим, что в качестве степени может быть как натуральное число, то есть 1, 2, 3, ...; так и любое отрицательное число: - 1, - 2 и т.д., а также и любое дробное, например, 2,34; - 4,1 или , .

Заметим, что если аргумент у степенной функции есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто ), то производную нужно находить по следующей формуле:

Примеры вычисления производной степенной функции

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Искомая производная

По правилам дифференцирования выносим константу за знак производной:

Далее находим производную степенной функции по формуле:

Ответ.

Пример

Задание. Вычислить производную функции

Решение. Искомая производная равна:

Далее находим производную по формуле, но учитываем, что основание степени есть что-то более сложное, чем (то есть ищем производную от сложной функции), то умножаем еще все на производную от основания степени:

В первом множителе упрощаем степень, а также находим производную, учитывая тот факт, что производная от суммы равна сумме производных:

Находя производные от степенной функции и от константы, получаем:

Упрощаем полученное выражение:

Ответ.

Читать дальше: производная обратной функции (1/x)'.