Производная арккосинуса

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 \arccos x$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=(2 \arccos x)^{\prime}$$

Константу вынесем за знак производной (согласно правилам дифференцирования):

$$y^{\prime}(x)=2 \cdot(\arccos x)^{\prime}=2 \cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)=-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)==-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\arccos (x-1)$

Решение. Производная заданной функции равна:

$$y^{\prime}(x)=(\arccos (x-1))^{\prime}$$

Так как аргумент арккосинуса есть сложная функция, то производную арккосинуса умножаем еще и на производную аргумента:

$$y^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}(x-1)^{\prime}$$

Производная разности равна разности производных, тога получаем:

$$y^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}\left[(x)^{\prime}-(1)^{\prime}\right]$$

Производная $x$ равна единице, а производная 1, как константы, равна нулю. Тогда

$$y^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}} \cdot(1-0)=-\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}$