Скалярное произведение векторов

Определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Пример

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Если хотя бы один из векторов или равен нулевому вектору, то .

Свойства скалярного произведения:

1°    - симметричность.

2°    . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3°    Если , то

4°    Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5°   

6°   

7°   

Если векторы и заданы своими координатами: , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

1

Скалярное произведение векторов

Определение

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат.

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов и

Решение. Скалярное произведение

Длина вектора

Длина вектора , заданного своими координатами, находится по формуле:

Определение

Длина (модуль) вектора, координаты которого известны, равен корню квадратному из суммы квадратов координат.

Пример

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Угол между двумя векторами , :

Косинус угла между векторами

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

Пример

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

Читать дальше: векторное произведение векторов.