Углом между векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называется угол $\phi=\angle A O B=(\bar{a}, \bar{b})$.
Пусть заданы два произвольных ненулевых вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$. Приведем их к общему началу, для этого отложим от некоторой точки $O$ векторы $\overline{O A}$ и $\overline{O B}$, равные соответственно заданным векторам $\overline{a}$ и $\overline{b}$ (рис. 1).
Определение
Угол между сонаправленными векторами равен 0°, а между противоположно направленными - 180°.
Определение
Два вектора называются перпендикулярными или ортогональными, если угол между ними равен 90°.
Угол между двумя векторами $\overline{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)$, $\overline{b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)$ заданными своими координатами, вычисляется по формуле:
$$\cos (\bar{a}, \bar{b})=\frac{(\bar{a} ; \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \cdot \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$$Пример
Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов $(\overline{a} ; \overline{b})=2$, а их длины $|\overline{a}|=2,|\overline{b}|=2$. Найти угол между векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$.
Решение. Косинус искомого угла:
$$\cos (\bar{a}, \bar{b})=\frac{(\bar{a} ; \bar{b})}{|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|}=\frac{2}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2} \Rightarrow(\bar{a}, \bar{b})=60^{\circ}$$Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Пример
Задание. Найти угол между векторами $\overline{a}=(1 ; 3)$ и $\overline{b}=(2 ; 1)$
Решение. Косинус искомого угла:
$$\cos (\bar{a}, \bar{b})=\frac{1 \cdot 2+3 \cdot 1}{\sqrt{1^{2}+3^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$(\bar{a}, \bar{b})=\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=45^{\circ}$$Читать дальше: разложение вектора по ортам координатных осей.
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
