Действия над векторами. Свойства векторов.

В данной теме мы подытожим раздел векторы, опишем все действия, которые можно совершать над векторами и какими свойствами они обладают.

Действия над векторами

Определение

Вектором называется направленный отрезок , где точка - начало, точка - конец вектора.

Суммой векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают.

Свойства операции сложения:

1°    - коммутативность

2°    - ассоциативность

3°   

4°   

Определение

Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие: .

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

  1. , если , , если .

Свойства умножения вектора на число:

1°   

2°   

3°   

4°   

5°   

6°   

Определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения:

1°    - симметричность.

2°    . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3°    Если , то

4°    Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5°   

6°   

7°   

Определение

Векторным произведением ненулевых векторов и называется вектор , обозначаемый символом или , длина которого .

Свойства векторного произведения:

1°    , тогда и только тогда, когда

2°   

3°    Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах и (рис. 2), т.е.

4°   

5°   

Определение

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

Свойства смешанного произведения:

1°   

2°   

3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°   

6°   

7°   

8°   

9°   

10°    Тождество Якоби:


Читать дальше: примеры решения задач с векторами.