Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Операции над векторами
Сложение и вычитание векторов
Сложение векторов и
осуществляется по правилу треугольника.
Суммой двух векторов
и
называют такой третий вектор
, начало которого совпадает с началом
, а конец - с концом
при условии, что конец вектора
и начало вектора
совпадают (рис. 1).
Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.
Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора и
привести к общему началу, то вектор
совпадает с диагональю параллелограмма,
построенного на векторах
и
(рис. 2). Причем начало вектора
совпадает с началом заданных векторов.
Вектор называется противоположным вектором
к вектору
, если он
коллинеарен
вектору
, равен ему по длине, но направлен в
противоположную сторону вектору
.
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
- коммутативность
- ассоциативность
Разностью векторов
и
называется вектор
такой, что выполняется условие:
(рис. 3).
Умножение вектора на число
Произведением вектора
на число
называется вектор
, удовлетворяющий условиям:
, если
,
, если
.
Свойства умножения вектора на число:
Здесь и
- произвольные векторы,
,
- произвольные числа.
Читать дальше: разложение вектора на составляющие.