Операции над векторами

Определение

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Сложение и вычитание векторов

Определение

Сложение векторов и осуществляется по правилу треугольника.

Суммой двух векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают (рис. 1).

Сумма векторов по правилу треугольника

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора и привести к общему началу, то вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2). Причем начало вектора совпадает с началом заданных векторов.

Сумма векторов по правилу параллелограмма

Определение

Вектор называется противоположным вектором к вектору , если он коллинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору .

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

  1. - коммутативность
  2. - ассоциативность
Определение

Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие: (рис. 3).

Разность векторов, рисунок

Умножение вектора на число

Определение

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

  1. , если , , если .

Свойства умножения вектора на число:

Здесь и - произвольные векторы, , - произвольные числа.


Читать дальше: разложение вектора на составляющие.