Понятие производной

Пусть задана некоторая функция . Возьмем какое-нибудь значение из области определения этой функции: . Соответствующее значение функции в этой точке будет равно .

Приращение аргумента и функции

Определение

Приращением аргумента называется разность между двумя значениями аргумента: "новым" и "старым".

Обычно обозначается как .

Пример

Задание. Найти приращение аргумента , если он переходит от значения 3 к значению 3,2.

Решение. Искомое приращение: .

Ответ.

Зададим аргументу приращение . А тогда значение функции в новой точке .

Определение

Приращением функции в точке , соответствующее приращению аргумента , называется величина:

Иллюстрация приращения аргумента и функции

Пример

Задание. Найти приращение функции при и

Решение. Подставляя в формулу, получаем, что приращение функции:

Ответ.

Определение производной

Определение

Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента  :  при , если он существует, то есть:

или

Пример

Задание. Найти производную функции в точке .

Решение. Найдем приращение заданной функции в точке :

Тогда

Ответ.

Дифференцирование функции

Определение

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Функция имеет производную на интервале или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная существует в каждой точке этого интервала.

Функция имеет в точке бесконечную производную, если в этой точке .

Теорема

(О непрерывности функции в точке)

Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.

Определение

Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

где - число, не зависящее от , - б.м. функция при .

Теорема

(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)

Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в этой точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке - понятия равносильные.


Читать дальше: односторонние производные.