Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения неизвестных коэффициентов в разложении

используется метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем:

  1. правую часть записанного равенства приводим к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби, стоящей в левой части этого равенства - , в числителе левой части получим некоторый многочлен с неизвестными коэффициентами;

  2. используем тот факт, что две дроби равны, когда равны их числители и знаменатели. Из того, что знаменатели левой и правой частей равенства равны, то значит, равны и числители:

  3. два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной, поэтому приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной . В результате получаем систему для определения неизвестных коэффициентов.

Пример

Задание. Разложить рациональную дробь на простые дроби.

Решение. Так как корнями знаменателя являются значения , , то его можно разложить на множители следующим образом:

А тогда

Искомое разложение имеет вид:

Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:

Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:

Отсюда, искомое разложение:

Ответ.  

Метод неопределенных коэффициентов позволяет проинтегрировать любую рациональную дробь. При этом могут получиться лишь многочлены, рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Второй способ нахождения коэффициентов

Второй способ нахождения искомых коэффициентов состоит в том, что в получаемом относительно тождестве аргументу придают значения корней, в результате чего получаются уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов. Данный метод более удобен, если корни знаменателя некратные. На практике чаще всего используется комбинация обоих способов.

Пример

Задание. Представить в виде суммы элементарных дробей дробь

Решение. Как уже было показано, относительно переменной получено следующее равенство:

В случае, когда , имеем:

Аналогично, для :

Таким образом,

Ответ.

Читать дальше: интегрирование правильных рациональных дробей.