Производные высших порядков

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

Пример

Задание. Найти вторую производную функции

Решение. Для начала найдем первую производную:

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Ответ.

Больше примеров решений Решение производных онлайн

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная -го порядка функции есть первая производная от производной -го порядка этой функции:

Замечание

Число , указывающее порядок производной, заключается в скобки.

Механический смысл второй производной

Теорема

(Механический смысл второй производной)

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения , то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:

Замечание

Ускорение материального тела равно первой производной от скорости, то есть:

Пример

Задание. Материальная точка движется по закону , где измеряется в метрах, а - в секундах. Найти значение , при котором ускорение точки равно 12.

Решение. Найдем ускорение материальной точки:

Искомое время найдем из уравнения:

Ответ.

Больше примеров решений Решение производных онлайн

Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

где , - факториал натурального числа .

Пример

Задание. Найти , если

Решение. Так как заданная функция представляет собой произведение двух функций , , то для нахождения производной четвертого порядка целесообразно будет применить формулу Лейбница: