Производные высших порядков

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

Пример

Задание. Найти вторую производную функции

Решение. Для начала найдем первую производную:

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Ответ.

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная -го порядка функции есть первая производная от производной -го порядка этой функции:

Замечание

Число , указывающее порядок производной, заключается в скобки.

Механический смысл второй производной

Теорема

(Механический смысл второй производной)

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения , то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:

Замечание

Ускорение материального тела равно первой производной от скорости, то есть:

Пример

Задание. Материальная точка движется по закону , где измеряется в метрах, а - в секундах. Найти значение , при котором ускорение точки равно 12.

Решение. Найдем ускорение материальной точки:

Искомое время найдем из уравнения:

Ответ.

Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

где , - факториал натурального числа .


Пример

Задание. Найти , если

Решение. Так как заданная функция представляет собой произведение двух функций , , то для нахождения производной четвертого порядка целесообразно будет применить формулу Лейбница:

Найдем все производные и посчитаем коэффициенты при слагаемых.

1) Посчитаем коэффициенты при слагаемых:

2) Найдем производные от функции :

3) Найдем производные от функции :

Тогда

Ответ.

Читать дальше: таблица производных высших порядков.