Выпуклость функции, точки перегиба

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Выпуклость и вогнутость функции

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Теорема

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Определение

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Теорема

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

  1. первая производная непрерывна в окрестности точки ;
  2. вторая производная или не существует в точке ;
  3. при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функция имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

  1. Найти вторую производную функции.
  2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
  3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.
Пример

Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение :

Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:

Так как на промежутке вторая производная , то на этом промежутке функция выпукла; в силу того, что на промежутке вторая производная - функция вогнута. Так как при переходе через точку вторая производная сменила знак, то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Ответ. Точка - точка перегиба графика функции.

На промежутке функция выпукла, на промежутке функция вогнута.

Читать дальше: асимптоты графика функции.