Что такое простое число

Определение простого числа

Определение

Простое число - это натуральное число, единственными делителями которого являются только оно само и единица.

Все остальные натуральные числа называются составными. Натуральное число 1 не является ни простым, ни составным.

Пример

Задание. Какие из записанных ниже натуральных чисел являются простыми:

Ответ.

Разложение числа на множители

Представление натурального числа в виде произведения натуральных чисел называется разложением на множители. Если в разложении на множители натурального числа все множители простые числа, то такое разложение называется разложением на простые множители.

Теорема

(Основная теорема арифметики)

Каждое натуральное число, отличное от 1, может быть разложено на простые множители, и притом единственным образом (если отождествлять разложения и , где и - простые числа).

Объединяя в разложении числа одинаковые простые сомножители, получаем так называемое каноническое разложение числа :

где , - различные простые числа, а - натуральные числа.

Пример

Задание. Найти каноническое разложение чисел:

Решение. Для нахождения канонического разложения чисел нужно сначала разложить их на простые множители, а затем объединить одинаковые множители и записать их произведение в виде степени с натуральным показателем:

Ответ.

Историческая справка

Как определить, какое число простое, а какое нет? Наиболее распространенным методом позволяющим найти все простые числа в любом числовом отрезке, предложил в III в. до н. э. Эратосфен (метод называется "решето Эратосфена"). Предположим, что нам нужно установить, какие из чисел являются простыми. Выпишем их в ряд и вычеркнем каждое второе число из следующих за числом 2 - все они составные, так как кратны числу 2. Первое из оставшихся невычеркнутых чисел - 3 - является простым. Вычеркнем каждое третье число из следующих за числом 3; следующее из невычеркнутых чисел - 5 - также будет простым. По тому же принципу вычеркнем каждое пятое число из следующих за числом 5 и вообще каждое -е из следующих за числом . Все оставшиеся невычеркнутыми числа будут простыми.

С увеличением простые числа постепенно встречаются все реже и реже. Однако уже древним был хорошо известен тот факт, что их бесконечно много. Его доказательство приводится в "Началах" Евклида.

Предположим, что ряд простых чисел конечен, и обозначим последнее простое число в этом ряду буквой . Тогда число должно быть составным. Это число при делении на числа всякий раз дает в остатке единицу. Таким образом, не делится без остатка ни на одно из чисел а простых чисел, больших , по нашему предположению, не существует. Но если бы было составным числом, то оно должно было делиться хотя бы на одно простое число. Мы приходим к противоречию - следовательно, ряд простых чисел бесконечен.


Читать дальше: что такое разность чисел.