Как найти смешанное произведение векторов

Формула

Для того чтобы найти смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами , и , необходимо вычислить следующий определитель, где по строкам записаны координаты заданных векторов, то есть

Как найти смешанное произведение векторов, формула

Примеры вычисления смешанного произведения векторов

Пример

Задание. Вычислить смешанное произведение векторов , и

Решение. Для нахождения смешанного произведения заданных векторов воспользуемся формулой

Подставляя координаты заданных векторов, получим:

Определитель вычисляем по правилу треугольника:

Ответ.  

Пример

Задание. Даны три вектора , и . Проверить, являются ли они компланарными, если нет, определить левую или правую тройку они образуют.

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов. Для этого воспользуемся формулой

Подставляя координаты заданных векторов, получим

Определитель вычисляем по правилу треугольника:

Смешанное произведение заданных векторов не равно нулю, следовательно, векторы некомпланарные. Так как смешанное произведение положительно, то делаем вывод, что заданные векторы образуют правую тройку.

Ответ. Векторы некомпланарны и образуют правую тройку.

Читать дальше: как найти вектор коллинеарный вектору.